§ 2.2 安培定律和毕奥--萨伐尔定律

1.物质的磁性与电流的磁效应

从天然磁体到指南针的发明
人类对磁现象的最初认识，是发现天然磁体之间存在互相吸引或排斥作用，以及天然磁体对诸如铁这类物体产生吸引力.
人们观察到，任何磁性物体都有两个不同的“磁极”，同性磁极互相排斥，异性磁极互相吸引.后来又发现，如果将一根条形小磁体的中心支撑起来并让它可以自由转动,小磁体的某一极总是转向北方.人们由此认识到，原来我们所居住的地球就是一个巨大的天然磁体.磁性物体中指向北方的那个极被称为“北磁极”或N极，指向南方的另一极称为“南磁极”或S极.
中国人对磁现象的发现和应用，比西方人要早得多.春秋战国时期（公元前770-221年）的文献已有“磁石吸铁”的记载，北宋时期已经利用磁针制造指南针并应用于航海.
至公元1600年，英国人吉尔伯特（M.Gilbert）发表《论磁体》一书，这被认为是人类对磁现象系统而定性研究的最早著作.

从库仑到奥斯特 From Coulomb To Oersted

库仑（C.A.de Coulomb）
大家已经知道，1785年,法国的库仑通过实验，总结出静电相互作用的规律.大约同期，库仑也通过实验对磁力进行了测量，并指出与电力一样，磁力“与磁分子之间的距离平方成反比”.
库仑的“磁分子”包含有南、北两种磁荷，它们在磁体内首尾相吸形成“磁分子纤维”,使磁荷不能象电荷那样从一个物体转移到另一个物体.

但是，电力与磁力有关吗？
库仑和他同时代的许多物理学家都认为：虽然磁力与电力在距离关系上有相似性，但并无同一性.

奥斯特（H.C.Oersted）
然而，丹麦人奥斯特在德国哲学家康德（I.Kant）和谢林（W.J.Schelling）关于自然力转化与统一的思想影响下，经过20多年对电力、磁力及化学亲和力等的广泛研究，终于在1820年4月发现了电流的磁效应——通有电流的导线使其附近的磁针发生了偏转！

奥斯特的伟大发现，轰动了当时欧洲的物理学界，由此开创了实验上与理论上研究电磁统一性的纪元.

从奥斯特到安培、毕奥和萨伐尔

安培（A.M.Ampere）
法国物理学家安培获知奥斯特的发现之后，很快（1820年9月）就发现两根通电流的导线之间也存在相互作用力，并于同年12月发表了这种相互作用力的定量公式——现在我们称之为安培定律. (见教材P336)

安培进而用“分子电流”假说解释磁体的磁性——磁性体内分子电流的有规排列，呈现出宏观磁化电流，正是宏观磁化电流使之产生宏观磁性（见教材P336）

毕奥和萨伐尔（J.B.Biot and F.Savart）

也是在1820年，法国物理学家毕奥和萨伐尔,通过实验测量了长直电流线附近小磁针的受力规律,发表了题为“运动中的电传递给金属的磁化力”的论文，后来人们称之为毕奥--萨伐尔定律.稍后，在数学家拉普拉斯的帮助下，以数学公式表示出这一定律.

从奥斯特到安培，两个引人深思的问题

一个引人深思的问题是：从奥斯特发现电流磁效应（1820年4月）到安培发现电流相互作用的规律（1820年9月），前后只是相差5个月，我们可以从中获得什么教益？
另一个同样引人深思的问题是：安培提出磁性的“分子电流假说”，比1897年汤姆孙发现电子，以及后来发现物质的原子和分子电结构，早了70多年以上.我们又可以从中获得什么教益？
安培的“分子电流圈”，按现在的理解，就是分子内的电荷运动形成的磁偶极矩m .由照经典模型，分子磁偶极矩矢量描述为

其中，I 是分子电流强度，为电流圈的面积矢量，规定它的方向与电流流向成右手螺旋关系.
今天，人们对磁现象的认识，已经比安培那个时代深刻得多：
不仅原子和分子中的电子绕核运动形成一定的“轨道磁矩”，而且，电子、质子等“基本的”带电粒子，都有一定的自旋磁矩.
分子的总磁矩是所有粒子轨道磁矩和自旋磁矩的矢量和.

磁场

读者知道，电荷之间的相互作用，通过电荷的电场传递.
电流之间的相互作用，则是通过电流的磁场传递的.如果我们在一块水平放置的平板上，放上一块条形磁铁，再在其周围撒上小铁粉，我们将会看到，小铁粉会呈现很有规律性的排列，如图2-1.这是由于：磁铁内分子电流（磁矩）的有规排列所形成的宏观“磁化”电流产生了宏观磁场，在这磁场作用下，小铁粉（小磁矩）发生了朝着“磁力线”方向的偏转而呈现有规律的排列.

同样的，两条电流线之所以存在互作用力，是一条电流线产生的磁场，作用于另一条电流线的结果.

2.安培定律（Amperes’ Law）（教材P337）

现在，让我们写出安培作用定律
真空中，两个稳恒的电流回路L₁和L₂ ，电流元I₁dl₁ 对I₂dl₂的作用力为

(2.2-1)
其中，I1和I2 是两个回路的电流强度，r₁₂是从I₁dl₁到I₂dl₂的距离，是这方向上的单位
矢量.

在MKSA单位制中，比例常数

（2.2-2）

其中，m₀称为真空磁导率，它与真空介电常数e₀ （真空电容率）共同构成作为基本物理常数的真空中光速C：
（2.2-3）
读者将会看到，电流强度I 的单位——“安培”，是由(2.2-1）来定义的.由于力的单位为牛顿，距离的单位为米，故从定义“安培”这一需要出发，
真空磁导率取值为

（2.2-4）
这也是真空介电常数e₀为什么由下式表示

（2.2-5）
的原因.
由于回路L₁的每个电流元对另一回路L₂每个电流元都将产生作用力，因此，回路L₁对回路L₂的合力应当是一个二重积分：
（2.2-6)

回路L₂ 对回路L₁ 的作用力则是

（2.2-7)

其中，r₂₁ = r₁₂,
是电流元I₂dl₂到I₁dl₁的方向上的单位矢量.
可以证明，两个稳恒电流回路之间的作用力与反作用力，大小相等方向相反：
F₂₁ = -F₁₂（2.2-8)
但是，对于两个“孤立的稳恒电流元”，一般地 dF₂₁ ≠ - dF₁₂ 这是因为：稳恒电流必定构成闭合回路，既孤立又“稳恒”的电流元实际上并不存在.

3.磁感应强度 (magnetic induction) （P346）

前面我们已指出，电流之间的相互作用是通过磁场来传递的.因此，安培定律（2.2-6)中，电流回路L₂受到的合力，实质上是电流回路L₁产生的磁场对它施加的总作用力，因此，安培定律实质上是：

（2.2-9)
B 是电流回路L₁在L₂各点上产生的磁感应强度
（注：这一称胃是历史上形成的，现在，有些国外的教科书已把B 称为磁场强度——magnetic field strength）.

对于任何一个稳恒的电流回路L ，其中一个电流元Idl 在任意点P产生的元磁感应强度为（2.2-10)
其中，x是场点的位置矢量，r是电流元到场点的距离，
是这方向的单位矢量.
——图中，P点的dB 沿什么方向？

类似于电场叠加原理 , 回路L的全部电流元在P点产生的总磁感应强度,也是一个矢量积分：

（2.2-11)

这称为毕奥—萨伐尔定律.应当注意，B是一个与场点P的坐标有关的矢量函数 .
如果导线截面上的电流密度函数为J (x ’)，则一个电流元是J (x ’)dV ’(小电流管中很小一段)，（2.2-11)将写成

（2.2-12)
此处，r 是电流分布点到场点P的距离，是这方向的单位矢量.

磁感应强度的物理意义
(1) 像点电荷产生的电场强度与距离的平方成反比一样，电流元产生的磁感应强度，也与距离的平方成反比；
(2）积分式（2.2-11)和（2.2-12)表示电流的磁场也遵从叠加原理
(3) 电流的磁场分布于其周围空间.根据安培定律，一个电流元I dl 在磁场中受到的作用力为
dF = I dl ×B (2.2-13)
B是电流元所在点的磁感应强度.我们设想，在磁场中某一点有一个电流元，由上式，它受力的大小为
dF =I dl B sinq (2.2-14)

q 是矢量B与电流元的夹角，显然，仅当q =p/2，即电流元的方向与此处B 的方向垂直时，它受到的力才有
最大值（dF ）max = I dl B ，我们就以比值

(2.2-15)

来定义该点的磁感应强度，表示单位电流元在磁场某点受到的最大作用力.
（请将这个定义与由库仑定律定义的电场强度比较一下）
于是B 的单位是：牛顿/安培·米（N/Am），通常把它称为特斯拉（tesla），即 1 特斯拉（T）=1牛顿/安培·米（N/Am）你们以后将看到，B²/2 m₀表示磁场能量密度(电场能量密度为e₀E²/2).
在有些文献中，仍然用“高斯”作为磁感应强度的单位，它与特斯拉的换算关系是 1高斯（gauss）= 10^-4 特斯拉

习题P351：3题

[例2-3] 直线电流的磁场(Magnetic Field of a Rectilinear Current)（P352）

[解] 我们考虑某个稳恒电流回路的一段，电流是沿着直线流动的，电流强度为I ,设其流向沿坐标系的z轴正向，场点P到电流线的垂直距离为r₀ , 我们就以o为坐标原点，如下图.
任意一个电流元到原点o的距离为z ,到场点P的距离为r, 从毕奥—萨伐尔定律

可知，电流元在场点P产生的元磁感应强度的方向，必定垂直于电流线和P点构成的平面，亦即图中的方向，这正是以r₀为半径的圆周的切线方向. 因此我们有

其中q 是电流元与方向的夹角，从图中我们看到

对上式两边取微分，便可实现积分变量从z 到q 的变换：

于是我们有

设这段直线电流的两个端点为a 和 b ,则q 将从q₁变到q₂ ，对上式积分，便得到这段直线电流在P点产生的磁感应强度

(2.2-16)

当直线电流的长度为“无限长”，即q₁→0，q₂→p 时, （2.2-16）将给出离开电流线为r₀ 的任一点处，磁感应强度为
(2.2-17)

这表明，“无限长”直线电流在其周围产生的磁感应强度，与距离的一次方成反比，它的场线——即B线按右手规则，相对于电流的流向形成一族与电流线为中心的同心圆.

在实际问题中，只要电流线足够长，在它中部附近r₀ 远小于电流线长度的范围内，就有近似于(2.2-17)的结果.
请大家考虑下面两个问题：
（1）对于通以稳恒电流的金属导线，通常我们只观测到它在外部产生的磁场，而没有观测到它在外部产生的电场.这是为什么？
（2）但是对于离子束（无论是正离子束还是负离子束），我们会同时观测到它在外部的磁场和电场，这又是为什么？

练习题：假定离子束沿着直线运动并且是稳定的，电流强度为I ，试找出离开离子束中心为 r 处的磁感应强度B和电场强度E .

例2-4]平行电流线之间的互作用力.电流强度的单位“安培”的定义. （教材P344，及P387）

[解] 我们在第一章的开头就指出，在MKSA单位制中，除了长度（单位：米）、质量（单位：千克）和时间（单位：秒）之外，电流强度（单位：安培）是第四个基本物理量.
而电流强度的单位 “安培”，正是以安培定律为依据来定义的.
设两条很长且平行的线电流之间，相距为r₀ ,电流强度分别为I₁和I₂ ,并且流向相同，如图.
由(2.2-17)，强度为I₁的电流在
另一电流线上产生的磁感应强度为

于是据安培定律，电流I₂中的一个电流元受到的作用力为：

(2.2-18)

负号表示此力是一个吸引力.显然，若两个电流的流向相反，则d F₁₂ 将是排斥力.
两电流线单位长度相互作用力的大小是
(2.2-19)
我们以前指出，m₀ 的数值取为 4p ×10^-7,现在令I₁ = I₂ =I , 上式便给出

(2.2-20)

于是，当 r₀ = 1米，并且测得f = 2×10^-7牛顿/米时，两导线中的电流强度I 就定义为“1安培”.
下图就是用来测量平行电流线相互作用力的天平——“安培秤”.

[例2-5]圆电流圈的磁场（Magnetic Field of a Circular Current）（P355）

[解] 设电流圈的半径为a ，电流强度为I .我们以其中心O为坐标原点，对称轴为z轴，任一电流元到轴上P点的距离为r , 是这方向上的单位矢量.显然，由于，故∣Idl× ∣= Id l,因此，一个电流元在轴上P点产生的磁感应强度dB 垂直
于与构成的平面，其值则为

由于电流分布存在着z轴对称性，我们注意到，与Idl 对称的另一个电流元 Idl ’ 在P点产生的dB’ ，与dB 叠加后，与z 轴垂直方向的分量为零，因而只剩下z方向的分量. 因此，仅需对dB 的z分量

积分.记场点P到原点O的距离为z = R ，则

于是，轴上P点的磁感应强度之值为

(2.2-21)
显然，在电流圈的中心O，即R = 0 处，有
(2.2-22)
但在远处，即R>>a 时，

(2.2-23)

上面我们只求出电流圈对称轴上的场强，但大家应当注意到，这圆形电流圈的电流分布，是存在着z轴对称性的，因此它的磁场必定也存在着同样的对称性.

电流圈的磁偶极矩（magnetic dipole moment of a current loop）（P390）和它的磁场

设小电流圈的电流强度为I，面积为S，我们定义这电流圈的磁偶极矩矢量为
(2.2-24)

IS是磁偶极矩的值.按规定，矢量m 的方向，亦即的方向，与电流的流向遵从右手螺旋规则，如图.

对于上例的圆形电流圈，其磁偶极矩矢量为
于是，据（2.2-23）

这磁矩在其轴上而且很远的P点处，产生的磁感应强度就是
(2.2-25)
现在，让我们回过头去看看，一个位于坐标原点的电偶极矩在远处产生的电场强度为
（2.2-26）

它存在着z 轴的对称性. 在轴线上即q = 0的点，记r =R，我们看到，这电偶极子的电场强度同样只有z 分量：
（2.2-27）

它与上述磁偶极矩m在对称轴上的磁感应强度
(2.2-25)

十分相似——只需将p/e₀?与m₀m 代换，便可实现同一点上E与B的代换！
事实上，由于这圆形电流圈的电流分布是存在着z 轴对称性的，因此它的磁场必定也存在着同样的对称性.更详细的理论计算表明：一个位于坐标原点、磁矩矢量为的磁偶极子，在远处，即当r>>a （磁矩的线度）时，它所产生的磁场为
(2.2-28)

这告诉我们，磁偶极子m 的磁场，与电偶极子p
的电场

存在着对称性.

磁偶极子和它的磁场

对于一般的闭合电流圈，其磁偶极矩由下式计算

（2.2-29）
其中，I d l 是电流圈中的电流元，x ’是电流元的位置矢量，积分遍及整个电流圈.在电流分布于一定体积V 的情形，电流
密度为J，电流元I d l 是JdV ’,于是

（2.2-30）
积分遍及全部电流分布的区域.
以后大家将会看到，带电粒子都有一定的自旋磁矩和轨道磁矩。

地球磁场
人们已经知道，地球的磁场很接近于磁偶极场.
但是我们发现，它的磁轴相对于地球的自转轴，一直在偏离，偏离角至今已达到11⁰.尽管对于地球磁场起源的物理机制，已经提出了许多模型，但是都未能很清楚地描述磁轴的偏离原因及其速度！
由于地核的温度高达几千摄氏度，因此我们有理由相信，地球磁场主要是由地核的高温等离子体所产生的，并且地核等离子体的转动肯定与地球的自转(地幔和地壳的自转)不同步，并且还有自己的进动，才造成磁轴不断偏离地球自转轴.

[例2-6] 通电螺线管的磁场（ Magnetic Field of a Solenoidal Current ）(p361)
[解] 设螺线管的截面半径为a，长度为L，电流强度为I，总匝数为N，单位长度匝数为n= N /L , 如下图.

由上例，其中一匝在轴线上P点产生的磁感应强度为

长度为dR 的一段有n dR匝,因此这段电流在P点的磁感应强度是

（2.2-29）
从图中我们看到
R = acotb , dR = -acsc²bdb , a² +R² = a²csc²b

将上述关系代入（2.2-29）式，便有

从螺线管的一端到另一端，角度b 从b1 变到b2 .于是，全部电流圈在P点产生的总磁感应强度就由下述积分给出

(2.2-30)

讨论上述结果：
(1) 对于有限长的通电螺线管，它内部和外部都分布着磁场，如下图.

（2）当螺线管的长度L无限大，将有b1 →p ，b2 →0 ，我们得到

（2.2-31）
这种理想情况相当于忽略螺线管两个端面附近磁场的不均匀性，因而把管内的磁场看成是均匀场，磁场的B线平行于管轴；而在螺线管的外部，B = 0 .
在实际问题中，只要螺线管的长度L远大于其截面半径a ，其内部中间附近区域的磁场就近似于（2.2-31）表示的均匀场.
（3）对于“半无限长” 螺线管，即当b₁ = p / 2 ，b₂ →0 ；或b₁ →p ，b₂ = p / 2 ，（2.2-30）均给出
（2.2-32）

即“半无限长” 螺线管在其端面的B值，只是其中部B值的一半.这从叠加原理可以得到解释.

习题：P367-372 7，8，11，15，16，28

5．低速运动（非相对论的）电荷的电场和磁场（ Electric and Magnetic FieldS of a Moving Charge-----Nonrelativistic）

现在，让我们考虑低速运动的带电粒子产生的电磁场.
大家已经知道，由n个运动带电粒子形成的电流密度为J = n q v ，其中q是粒子的电荷，v是它们的平均速度，这粒子束形成的电流元是JdV= nq vdV，ndV是体积元dV内的粒子数，于是据毕奥—萨伐尔定律，一个运动带电粒子q在离它为r处的某点P产生磁感应强度为

（1）
令粒子的运动方向沿z轴，如图 , 就有

（2）

显然，磁场存在轴对称性，B 线是一族与粒子运动方向正交的圆；
在q = 0 即粒子运动方向上，B = 0，而在q = p/ 2 即粒子所在的横向平面上，磁场分布最强.
这运动电荷同时也产生电场.假定其运动速度v 恒定不变，而且远小于真空中的光速c，则P点的电场强度可表示为

(3)
如果我们在（1）式右方的分子和分母都乘以e₀ ，并注意到m₀ e₀ =1/c² 和（3），（1）式将给出
(4)

应当指出，（1）、（2）和（3）式，仅在粒子速度v <<c的情况下才近似成立，对于高速运动的带电粒子（即相对论情形），上述结果必须加以修改.
(4)式告诉我们，带电粒子的电场E与磁场B，只是同一种物质的两种表现形式，两者之间存在着紧密的关联.
[例2-7]基态氢原子中的电子在其轨道中心产生的磁感应强度.(P372第32题)

[解]按经典模型，电子围绕核运动的轨道半径a =0.53×10^-10米.核和电子电荷量的绝对值均为 e =1.6×10^-19库仑，电子质量m_e=9.11×10^-31千克,1/4pe₀ = 8.99×10⁹牛顿·米/库仑2, m₀ /4p =10^-7牛顿/安培².
电子受到的库仑力